Qual è la relazione tra omologia e coomologia di una varietà?

Ehilà! Come fornitore di molteplici, ho trascorso un sacco di tempo a immergermi nel mondo delle varietà. Ma oggi, voglio fare un po 'di deviazione dalle noci e dai bulloni dei nostri prodotti e chiacchierare su qualcosa di più teorico: la relazione tra omologia e coomologia di una varietà.

Prima di tutto, otteniamo una comprensione di base di quali sono le varietà. In termini semplici, un collettore è uno spazio che sembra localmente come spazio euclideo. Pensala come la superficie di una sfera. Se ingrandisci molto vicino a una piccola patch della sfera, sembra praticamente un piano piatto, che è uno spazio euclideo 2 dimensionale. I collettori possono avere dimensioni diverse e si presentano in ogni tipo di aree, dalla fisica all'ingegneria.

Ora, su omologia e coomologia. L'omologia è un modo per misurare i buchi in una varietà. È come contare quanti loop, vuoti o altre caratteristiche topologiche non banali ci sono in uno spazio. Ad esempio, un cerchio ha un foro non dimensionale non banale. I gruppi di omologia sono usati per quantificare questi buchi. Usiamo catene (sostanzialmente somme di semplici, come i triangoli e i loro analoghi più dimensionali) per costruire un'immagine dello spazio, e quindi guardiamo ai confini di queste catene. Se una catena non ha confine, potrebbe rappresentare un buco.

La coomologia, d'altra parte, è un po 'più doppia per l'omologia. Invece di lavorare con le catene, lavoriamo con Cochains, che sono funzioni sulle catene. I gruppi di coomologia misurano il modo in cui possiamo "compilare" o "etichettare" i buchi in una varietà. È come avere un modo per assegnare valori o proprietà ai fori in modo coerente.

Allora, qual è la relazione tra i due? Bene, c'è un concetto molto importante chiamato Dualità di Poincaré. In un collettore chiuso e orientato (m) di dimensione (N), c'è un isomorfismo tra il gruppo di omologia (k) - Th (h_k (m)) e il gruppo di coomologia ((n - k)) - th (h^{n - k} (m)). Questo è un risultato super profondo che collega questi due modi apparentemente diversi di guardare una varietà.

Fammi abbattere un po 'di più. Supponiamo di avere un collettore chiuso a 2 dimensioni, orientato, come un toro. Il gruppo di omologia 0 - Th (H_0 (M)) conta il numero di componenti collegati del toro (in questo caso, è 1). Di Poincaré Duality, il gruppo di coomologia 2 - nd (H^2 (m)) è isomorfo a (H_0 (M)). Il gruppo di omologia 1 - Th (H_1 (M)) conta i loop non banali sul toro (ha due anelli indipendenti che puoi pensare come aggirare il "foro" del toro e attorno al "tubo" del toro). E il gruppo di coomologia 1 - Th (H^1 (M)) è anche isomorfo a (H_1 (M)).

Questa relazione non è solo una curiosità teorica. Ha implicazioni pratiche. In fisica, ad esempio, quando si studiano teorie del calibro su varietà, i gruppi di coomologia vengono utilizzati per descrivere i possibili campi di gauge, mentre i gruppi di omologia possono essere correlati alla topologia dello spazio sottostante. Nell'ingegneria, quando si tratta di flusso di fluido su una varietà - come la struttura, la comprensione dell'omologia e della coomologia può aiutarci ad analizzare come il fluido può circolare e come possiamo modellare il comportamento del sistema.

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Riferimenti

• Bott, R., & Tu, LW (1982). Forme differenziali nella topologia algebrica. Springer - Verlag.
• Hatcher, A. (2002). Topologia algebrica. Cambridge University Press.